3.362 \(\int \frac{(a+b x)^n \left (c+d x^2\right )^3}{x} \, dx\)

Optimal. Leaf size=246 \[ -\frac{a d^2 \left (10 a^2 d+9 b^2 c\right ) (a+b x)^{n+3}}{b^6 (n+3)}+\frac{d^2 \left (10 a^2 d+3 b^2 c\right ) (a+b x)^{n+4}}{b^6 (n+4)}-\frac{a d \left (a^4 d^2+3 a^2 b^2 c d+3 b^4 c^2\right ) (a+b x)^{n+1}}{b^6 (n+1)}+\frac{d \left (5 a^4 d^2+9 a^2 b^2 c d+3 b^4 c^2\right ) (a+b x)^{n+2}}{b^6 (n+2)}-\frac{5 a d^3 (a+b x)^{n+5}}{b^6 (n+5)}+\frac{d^3 (a+b x)^{n+6}}{b^6 (n+6)}-\frac{c^3 (a+b x)^{n+1} \, _2F_1\left (1,n+1;n+2;\frac{b x}{a}+1\right )}{a (n+1)} \]

[Out]

-((a*d*(3*b^4*c^2 + 3*a^2*b^2*c*d + a^4*d^2)*(a + b*x)^(1 + n))/(b^6*(1 + n))) +
(d*(3*b^4*c^2 + 9*a^2*b^2*c*d + 5*a^4*d^2)*(a + b*x)^(2 + n))/(b^6*(2 + n)) - (
a*d^2*(9*b^2*c + 10*a^2*d)*(a + b*x)^(3 + n))/(b^6*(3 + n)) + (d^2*(3*b^2*c + 10
*a^2*d)*(a + b*x)^(4 + n))/(b^6*(4 + n)) - (5*a*d^3*(a + b*x)^(5 + n))/(b^6*(5 +
n)) + (d^3*(a + b*x)^(6 + n))/(b^6*(6 + n)) - (c^3*(a + b*x)^(1 + n)*Hypergeome
tric2F1[1, 1 + n, 2 + n, 1 + (b*x)/a])/(a*(1 + n))

_______________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.286879, antiderivative size = 246, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 3, number of rules used = 2, integrand size = 20, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.1 \[ -\frac{a d^2 \left (10 a^2 d+9 b^2 c\right ) (a+b x)^{n+3}}{b^6 (n+3)}+\frac{d^2 \left (10 a^2 d+3 b^2 c\right ) (a+b x)^{n+4}}{b^6 (n+4)}-\frac{a d \left (a^4 d^2+3 a^2 b^2 c d+3 b^4 c^2\right ) (a+b x)^{n+1}}{b^6 (n+1)}+\frac{d \left (5 a^4 d^2+9 a^2 b^2 c d+3 b^4 c^2\right ) (a+b x)^{n+2}}{b^6 (n+2)}-\frac{5 a d^3 (a+b x)^{n+5}}{b^6 (n+5)}+\frac{d^3 (a+b x)^{n+6}}{b^6 (n+6)}-\frac{c^3 (a+b x)^{n+1} \, _2F_1\left (1,n+1;n+2;\frac{b x}{a}+1\right )}{a (n+1)} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]  Int[((a + b*x)^n*(c + d*x^2)^3)/x,x]

[Out]

-((a*d*(3*b^4*c^2 + 3*a^2*b^2*c*d + a^4*d^2)*(a + b*x)^(1 + n))/(b^6*(1 + n))) +
(d*(3*b^4*c^2 + 9*a^2*b^2*c*d + 5*a^4*d^2)*(a + b*x)^(2 + n))/(b^6*(2 + n)) - (
a*d^2*(9*b^2*c + 10*a^2*d)*(a + b*x)^(3 + n))/(b^6*(3 + n)) + (d^2*(3*b^2*c + 10
*a^2*d)*(a + b*x)^(4 + n))/(b^6*(4 + n)) - (5*a*d^3*(a + b*x)^(5 + n))/(b^6*(5 +
n)) + (d^3*(a + b*x)^(6 + n))/(b^6*(6 + n)) - (c^3*(a + b*x)^(1 + n)*Hypergeome
tric2F1[1, 1 + n, 2 + n, 1 + (b*x)/a])/(a*(1 + n))

_______________________________________________________________________________________

Rubi in Sympy [A]  time = 61.3429, size = 226, normalized size = 0.92 \[ - \frac{5 a d^{3} \left (a + b x\right )^{n + 5}}{b^{6} \left (n + 5\right )} - \frac{a d^{2} \left (a + b x\right )^{n + 3} \left (10 a^{2} d + 9 b^{2} c\right )}{b^{6} \left (n + 3\right )} - \frac{a d \left (a + b x\right )^{n + 1} \left (a^{4} d^{2} + 3 a^{2} b^{2} c d + 3 b^{4} c^{2}\right )}{b^{6} \left (n + 1\right )} + \frac{d^{3} \left (a + b x\right )^{n + 6}}{b^{6} \left (n + 6\right )} + \frac{d^{2} \left (a + b x\right )^{n + 4} \left (10 a^{2} d + 3 b^{2} c\right )}{b^{6} \left (n + 4\right )} + \frac{d \left (a + b x\right )^{n + 2} \left (5 a^{4} d^{2} + 9 a^{2} b^{2} c d + 3 b^{4} c^{2}\right )}{b^{6} \left (n + 2\right )} - \frac{c^{3} \left (a + b x\right )^{n + 1}{{}_{2}F_{1}\left (\begin{matrix} 1, n + 1 \\ n + 2 \end{matrix}\middle |{1 + \frac{b x}{a}} \right )}}{a \left (n + 1\right )} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  rubi_integrate((b*x+a)**n*(d*x**2+c)**3/x,x)

[Out]

-5*a*d**3*(a + b*x)**(n + 5)/(b**6*(n + 5)) - a*d**2*(a + b*x)**(n + 3)*(10*a**2
*d + 9*b**2*c)/(b**6*(n + 3)) - a*d*(a + b*x)**(n + 1)*(a**4*d**2 + 3*a**2*b**2*
c*d + 3*b**4*c**2)/(b**6*(n + 1)) + d**3*(a + b*x)**(n + 6)/(b**6*(n + 6)) + d**
2*(a + b*x)**(n + 4)*(10*a**2*d + 3*b**2*c)/(b**6*(n + 4)) + d*(a + b*x)**(n + 2
)*(5*a**4*d**2 + 9*a**2*b**2*c*d + 3*b**4*c**2)/(b**6*(n + 2)) - c**3*(a + b*x)*
*(n + 1)*hyper((1, n + 1), (n + 2,), 1 + b*x/a)/(a*(n + 1))

_______________________________________________________________________________________

Mathematica [B]  time = 0.906103, size = 546, normalized size = 2.22 \[ (a+b x)^n \left (\frac{3 c^2 d \left (\frac{b x}{a}+1\right )^{-n} \left (-a^2 \left (\left (\frac{b x}{a}+1\right )^n-1\right )+b^2 (n+1) x^2 \left (\frac{b x}{a}+1\right )^n+a b n x \left (\frac{b x}{a}+1\right )^n\right )}{b^2 (n+1) (n+2)}+\frac{3 c d^2 \left (\frac{b x}{a}+1\right )^{-n} \left (-6 a^4 \left (\left (\frac{b x}{a}+1\right )^n-1\right )+6 a^3 b n x \left (\frac{b x}{a}+1\right )^n-3 a^2 b^2 n (n+1) x^2 \left (\frac{b x}{a}+1\right )^n+b^4 \left (n^3+6 n^2+11 n+6\right ) x^4 \left (\frac{b x}{a}+1\right )^n+a b^3 n \left (n^2+3 n+2\right ) x^3 \left (\frac{b x}{a}+1\right )^n\right )}{b^4 (n+1) (n+2) (n+3) (n+4)}+\frac{d^3 \left (\frac{b x}{a}+1\right )^{-n} \left (-120 a^6 \left (\left (\frac{b x}{a}+1\right )^n-1\right )+120 a^5 b n x \left (\frac{b x}{a}+1\right )^n-60 a^4 b^2 n (n+1) x^2 \left (\frac{b x}{a}+1\right )^n+20 a^3 b^3 n \left (n^2+3 n+2\right ) x^3 \left (\frac{b x}{a}+1\right )^n-5 a^2 b^4 n \left (n^3+6 n^2+11 n+6\right ) x^4 \left (\frac{b x}{a}+1\right )^n+b^6 \left (n^5+15 n^4+85 n^3+225 n^2+274 n+120\right ) x^6 \left (\frac{b x}{a}+1\right )^n+a b^5 n \left (n^4+10 n^3+35 n^2+50 n+24\right ) x^5 \left (\frac{b x}{a}+1\right )^n\right )}{b^6 (n+1) (n+2) (n+3) (n+4) (n+5) (n+6)}+\frac{c^3 \left (\frac{a}{b x}+1\right )^{-n} \, _2F_1\left (-n,-n;1-n;-\frac{a}{b x}\right )}{n}\right ) \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]  Integrate[((a + b*x)^n*(c + d*x^2)^3)/x,x]

[Out]

(a + b*x)^n*((3*c^2*d*(a*b*n*x*(1 + (b*x)/a)^n + b^2*(1 + n)*x^2*(1 + (b*x)/a)^n
- a^2*(-1 + (1 + (b*x)/a)^n)))/(b^2*(1 + n)*(2 + n)*(1 + (b*x)/a)^n) + (3*c*d^2
*(6*a^3*b*n*x*(1 + (b*x)/a)^n - 3*a^2*b^2*n*(1 + n)*x^2*(1 + (b*x)/a)^n + a*b^3*
n*(2 + 3*n + n^2)*x^3*(1 + (b*x)/a)^n + b^4*(6 + 11*n + 6*n^2 + n^3)*x^4*(1 + (b
*x)/a)^n - 6*a^4*(-1 + (1 + (b*x)/a)^n)))/(b^4*(1 + n)*(2 + n)*(3 + n)*(4 + n)*(
1 + (b*x)/a)^n) + (d^3*(120*a^5*b*n*x*(1 + (b*x)/a)^n - 60*a^4*b^2*n*(1 + n)*x^2
*(1 + (b*x)/a)^n + 20*a^3*b^3*n*(2 + 3*n + n^2)*x^3*(1 + (b*x)/a)^n - 5*a^2*b^4*
n*(6 + 11*n + 6*n^2 + n^3)*x^4*(1 + (b*x)/a)^n + a*b^5*n*(24 + 50*n + 35*n^2 + 1
0*n^3 + n^4)*x^5*(1 + (b*x)/a)^n + b^6*(120 + 274*n + 225*n^2 + 85*n^3 + 15*n^4
+ n^5)*x^6*(1 + (b*x)/a)^n - 120*a^6*(-1 + (1 + (b*x)/a)^n)))/(b^6*(1 + n)*(2 +
n)*(3 + n)*(4 + n)*(5 + n)*(6 + n)*(1 + (b*x)/a)^n) + (c^3*Hypergeometric2F1[-n,
-n, 1 - n, -(a/(b*x))])/(n*(1 + a/(b*x))^n))

_______________________________________________________________________________________

Maple [F]  time = 0.044, size = 0, normalized size = 0. \[ \int{\frac{ \left ( bx+a \right ) ^{n} \left ( d{x}^{2}+c \right ) ^{3}}{x}}\, dx \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  int((b*x+a)^n*(d*x^2+c)^3/x,x)

[Out]

int((b*x+a)^n*(d*x^2+c)^3/x,x)

_______________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \[ \int \frac{{\left (d x^{2} + c\right )}^{3}{\left (b x + a\right )}^{n}}{x}\,{d x} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  integrate((d*x^2 + c)^3*(b*x + a)^n/x,x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate((d*x^2 + c)^3*(b*x + a)^n/x, x)

_______________________________________________________________________________________

Fricas [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \[{\rm integral}\left (\frac{{\left (d^{3} x^{6} + 3 \, c d^{2} x^{4} + 3 \, c^{2} d x^{2} + c^{3}\right )}{\left (b x + a\right )}^{n}}{x}, x\right ) \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  integrate((d*x^2 + c)^3*(b*x + a)^n/x,x, algorithm="fricas")

[Out]

integral((d^3*x^6 + 3*c*d^2*x^4 + 3*c^2*d*x^2 + c^3)*(b*x + a)^n/x, x)

_______________________________________________________________________________________

Sympy [A]  time = 33.9662, size = 5702, normalized size = 23.18 \[ \text{result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  integrate((b*x+a)**n*(d*x**2+c)**3/x,x)

[Out]

-b**n*c**3*n*(a/b + x)**n*lerchphi(1 + b*x/a, 1, n + 1)*gamma(n + 1)/gamma(n + 2
) - b**n*c**3*(a/b + x)**n*lerchphi(1 + b*x/a, 1, n + 1)*gamma(n + 1)/gamma(n +
2) + 3*c**2*d*Piecewise((a**n*x**2/2, Eq(b, 0)), (a*log(a/b + x)/(a*b**2 + b**3*
x) + b*x*log(a/b + x)/(a*b**2 + b**3*x) - b*x/(a*b**2 + b**3*x), Eq(n, -2)), (-a
*log(a/b + x)/b**2 + x/b, Eq(n, -1)), (-a**2*(a + b*x)**n/(b**2*n**2 + 3*b**2*n
+ 2*b**2) + a*b*n*x*(a + b*x)**n/(b**2*n**2 + 3*b**2*n + 2*b**2) + b**2*n*x**2*(
a + b*x)**n/(b**2*n**2 + 3*b**2*n + 2*b**2) + b**2*x**2*(a + b*x)**n/(b**2*n**2
+ 3*b**2*n + 2*b**2), True)) + 3*c*d**2*Piecewise((a**n*x**4/4, Eq(b, 0)), (6*a*
*3*log(a/b + x)/(6*a**3*b**4 + 18*a**2*b**5*x + 18*a*b**6*x**2 + 6*b**7*x**3) +
2*a**3/(6*a**3*b**4 + 18*a**2*b**5*x + 18*a*b**6*x**2 + 6*b**7*x**3) + 18*a**2*b
*x*log(a/b + x)/(6*a**3*b**4 + 18*a**2*b**5*x + 18*a*b**6*x**2 + 6*b**7*x**3) +
18*a*b**2*x**2*log(a/b + x)/(6*a**3*b**4 + 18*a**2*b**5*x + 18*a*b**6*x**2 + 6*b
**7*x**3) - 9*a*b**2*x**2/(6*a**3*b**4 + 18*a**2*b**5*x + 18*a*b**6*x**2 + 6*b**
7*x**3) + 6*b**3*x**3*log(a/b + x)/(6*a**3*b**4 + 18*a**2*b**5*x + 18*a*b**6*x**
2 + 6*b**7*x**3) - 9*b**3*x**3/(6*a**3*b**4 + 18*a**2*b**5*x + 18*a*b**6*x**2 +
6*b**7*x**3), Eq(n, -4)), (-6*a**3*log(a/b + x)/(2*a**2*b**4 + 4*a*b**5*x + 2*b*
*6*x**2) - 3*a**3/(2*a**2*b**4 + 4*a*b**5*x + 2*b**6*x**2) - 12*a**2*b*x*log(a/b
+ x)/(2*a**2*b**4 + 4*a*b**5*x + 2*b**6*x**2) - 6*a*b**2*x**2*log(a/b + x)/(2*a
**2*b**4 + 4*a*b**5*x + 2*b**6*x**2) + 6*a*b**2*x**2/(2*a**2*b**4 + 4*a*b**5*x +
2*b**6*x**2) + 2*b**3*x**3/(2*a**2*b**4 + 4*a*b**5*x + 2*b**6*x**2), Eq(n, -3))
, (6*a**3*log(a/b + x)/(2*a*b**4 + 2*b**5*x) + 6*a**3/(2*a*b**4 + 2*b**5*x) + 6*
a**2*b*x*log(a/b + x)/(2*a*b**4 + 2*b**5*x) - 3*a*b**2*x**2/(2*a*b**4 + 2*b**5*x
) + b**3*x**3/(2*a*b**4 + 2*b**5*x), Eq(n, -2)), (-a**3*log(a/b + x)/b**4 + a**2
*x/b**3 - a*x**2/(2*b**2) + x**3/(3*b), Eq(n, -1)), (-6*a**4*(a + b*x)**n/(b**4*
n**4 + 10*b**4*n**3 + 35*b**4*n**2 + 50*b**4*n + 24*b**4) + 6*a**3*b*n*x*(a + b*
x)**n/(b**4*n**4 + 10*b**4*n**3 + 35*b**4*n**2 + 50*b**4*n + 24*b**4) - 3*a**2*b
**2*n**2*x**2*(a + b*x)**n/(b**4*n**4 + 10*b**4*n**3 + 35*b**4*n**2 + 50*b**4*n
+ 24*b**4) - 3*a**2*b**2*n*x**2*(a + b*x)**n/(b**4*n**4 + 10*b**4*n**3 + 35*b**4
*n**2 + 50*b**4*n + 24*b**4) + a*b**3*n**3*x**3*(a + b*x)**n/(b**4*n**4 + 10*b**
4*n**3 + 35*b**4*n**2 + 50*b**4*n + 24*b**4) + 3*a*b**3*n**2*x**3*(a + b*x)**n/(
b**4*n**4 + 10*b**4*n**3 + 35*b**4*n**2 + 50*b**4*n + 24*b**4) + 2*a*b**3*n*x**3
*(a + b*x)**n/(b**4*n**4 + 10*b**4*n**3 + 35*b**4*n**2 + 50*b**4*n + 24*b**4) +
b**4*n**3*x**4*(a + b*x)**n/(b**4*n**4 + 10*b**4*n**3 + 35*b**4*n**2 + 50*b**4*n
+ 24*b**4) + 6*b**4*n**2*x**4*(a + b*x)**n/(b**4*n**4 + 10*b**4*n**3 + 35*b**4*
n**2 + 50*b**4*n + 24*b**4) + 11*b**4*n*x**4*(a + b*x)**n/(b**4*n**4 + 10*b**4*n
**3 + 35*b**4*n**2 + 50*b**4*n + 24*b**4) + 6*b**4*x**4*(a + b*x)**n/(b**4*n**4
+ 10*b**4*n**3 + 35*b**4*n**2 + 50*b**4*n + 24*b**4), True)) + d**3*Piecewise((a
**n*x**6/6, Eq(b, 0)), (60*a**5*log(a/b + x)/(60*a**5*b**6 + 300*a**4*b**7*x + 6
00*a**3*b**8*x**2 + 600*a**2*b**9*x**3 + 300*a*b**10*x**4 + 60*b**11*x**5) + 137
*a**5/(60*a**5*b**6 + 300*a**4*b**7*x + 600*a**3*b**8*x**2 + 600*a**2*b**9*x**3
+ 300*a*b**10*x**4 + 60*b**11*x**5) + 300*a**4*b*x*log(a/b + x)/(60*a**5*b**6 +
300*a**4*b**7*x + 600*a**3*b**8*x**2 + 600*a**2*b**9*x**3 + 300*a*b**10*x**4 + 6
0*b**11*x**5) + 625*a**4*b*x/(60*a**5*b**6 + 300*a**4*b**7*x + 600*a**3*b**8*x**
2 + 600*a**2*b**9*x**3 + 300*a*b**10*x**4 + 60*b**11*x**5) + 600*a**3*b**2*x**2*
log(a/b + x)/(60*a**5*b**6 + 300*a**4*b**7*x + 600*a**3*b**8*x**2 + 600*a**2*b**
9*x**3 + 300*a*b**10*x**4 + 60*b**11*x**5) + 1100*a**3*b**2*x**2/(60*a**5*b**6 +
300*a**4*b**7*x + 600*a**3*b**8*x**2 + 600*a**2*b**9*x**3 + 300*a*b**10*x**4 +
60*b**11*x**5) + 600*a**2*b**3*x**3*log(a/b + x)/(60*a**5*b**6 + 300*a**4*b**7*x
+ 600*a**3*b**8*x**2 + 600*a**2*b**9*x**3 + 300*a*b**10*x**4 + 60*b**11*x**5) +
900*a**2*b**3*x**3/(60*a**5*b**6 + 300*a**4*b**7*x + 600*a**3*b**8*x**2 + 600*a
**2*b**9*x**3 + 300*a*b**10*x**4 + 60*b**11*x**5) + 300*a*b**4*x**4*log(a/b + x)
/(60*a**5*b**6 + 300*a**4*b**7*x + 600*a**3*b**8*x**2 + 600*a**2*b**9*x**3 + 300
*a*b**10*x**4 + 60*b**11*x**5) + 300*a*b**4*x**4/(60*a**5*b**6 + 300*a**4*b**7*x
+ 600*a**3*b**8*x**2 + 600*a**2*b**9*x**3 + 300*a*b**10*x**4 + 60*b**11*x**5) +
60*b**5*x**5*log(a/b + x)/(60*a**5*b**6 + 300*a**4*b**7*x + 600*a**3*b**8*x**2
+ 600*a**2*b**9*x**3 + 300*a*b**10*x**4 + 60*b**11*x**5), Eq(n, -6)), (-60*a**5*
log(a/b + x)/(12*a**4*b**6 + 48*a**3*b**7*x + 72*a**2*b**8*x**2 + 48*a*b**9*x**3
+ 12*b**10*x**4) - 125*a**5/(12*a**4*b**6 + 48*a**3*b**7*x + 72*a**2*b**8*x**2
+ 48*a*b**9*x**3 + 12*b**10*x**4) - 240*a**4*b*x*log(a/b + x)/(12*a**4*b**6 + 48
*a**3*b**7*x + 72*a**2*b**8*x**2 + 48*a*b**9*x**3 + 12*b**10*x**4) - 440*a**4*b*
x/(12*a**4*b**6 + 48*a**3*b**7*x + 72*a**2*b**8*x**2 + 48*a*b**9*x**3 + 12*b**10
*x**4) - 360*a**3*b**2*x**2*log(a/b + x)/(12*a**4*b**6 + 48*a**3*b**7*x + 72*a**
2*b**8*x**2 + 48*a*b**9*x**3 + 12*b**10*x**4) - 540*a**3*b**2*x**2/(12*a**4*b**6
+ 48*a**3*b**7*x + 72*a**2*b**8*x**2 + 48*a*b**9*x**3 + 12*b**10*x**4) - 240*a*
*2*b**3*x**3*log(a/b + x)/(12*a**4*b**6 + 48*a**3*b**7*x + 72*a**2*b**8*x**2 + 4
8*a*b**9*x**3 + 12*b**10*x**4) - 240*a**2*b**3*x**3/(12*a**4*b**6 + 48*a**3*b**7
*x + 72*a**2*b**8*x**2 + 48*a*b**9*x**3 + 12*b**10*x**4) - 60*a*b**4*x**4*log(a/
b + x)/(12*a**4*b**6 + 48*a**3*b**7*x + 72*a**2*b**8*x**2 + 48*a*b**9*x**3 + 12*
b**10*x**4) + 12*b**5*x**5/(12*a**4*b**6 + 48*a**3*b**7*x + 72*a**2*b**8*x**2 +
48*a*b**9*x**3 + 12*b**10*x**4), Eq(n, -5)), (60*a**5*log(a/b + x)/(6*a**3*b**6
+ 18*a**2*b**7*x + 18*a*b**8*x**2 + 6*b**9*x**3) + 20*a**5/(6*a**3*b**6 + 18*a**
2*b**7*x + 18*a*b**8*x**2 + 6*b**9*x**3) + 180*a**4*b*x*log(a/b + x)/(6*a**3*b**
6 + 18*a**2*b**7*x + 18*a*b**8*x**2 + 6*b**9*x**3) + 180*a**3*b**2*x**2*log(a/b
+ x)/(6*a**3*b**6 + 18*a**2*b**7*x + 18*a*b**8*x**2 + 6*b**9*x**3) - 90*a**3*b**
2*x**2/(6*a**3*b**6 + 18*a**2*b**7*x + 18*a*b**8*x**2 + 6*b**9*x**3) + 60*a**2*b
**3*x**3*log(a/b + x)/(6*a**3*b**6 + 18*a**2*b**7*x + 18*a*b**8*x**2 + 6*b**9*x*
*3) - 90*a**2*b**3*x**3/(6*a**3*b**6 + 18*a**2*b**7*x + 18*a*b**8*x**2 + 6*b**9*
x**3) - 15*a*b**4*x**4/(6*a**3*b**6 + 18*a**2*b**7*x + 18*a*b**8*x**2 + 6*b**9*x
**3) + 3*b**5*x**5/(6*a**3*b**6 + 18*a**2*b**7*x + 18*a*b**8*x**2 + 6*b**9*x**3)
, Eq(n, -4)), (-60*a**5*log(a/b + x)/(6*a**2*b**6 + 12*a*b**7*x + 6*b**8*x**2) -
30*a**5/(6*a**2*b**6 + 12*a*b**7*x + 6*b**8*x**2) - 120*a**4*b*x*log(a/b + x)/(
6*a**2*b**6 + 12*a*b**7*x + 6*b**8*x**2) - 60*a**3*b**2*x**2*log(a/b + x)/(6*a**
2*b**6 + 12*a*b**7*x + 6*b**8*x**2) + 60*a**3*b**2*x**2/(6*a**2*b**6 + 12*a*b**7
*x + 6*b**8*x**2) + 20*a**2*b**3*x**3/(6*a**2*b**6 + 12*a*b**7*x + 6*b**8*x**2)
- 5*a*b**4*x**4/(6*a**2*b**6 + 12*a*b**7*x + 6*b**8*x**2) + 2*b**5*x**5/(6*a**2*
b**6 + 12*a*b**7*x + 6*b**8*x**2), Eq(n, -3)), (60*a**5*log(a/b + x)/(12*a*b**6
+ 12*b**7*x) + 60*a**5/(12*a*b**6 + 12*b**7*x) + 60*a**4*b*x*log(a/b + x)/(12*a*
b**6 + 12*b**7*x) - 30*a**3*b**2*x**2/(12*a*b**6 + 12*b**7*x) + 10*a**2*b**3*x**
3/(12*a*b**6 + 12*b**7*x) - 5*a*b**4*x**4/(12*a*b**6 + 12*b**7*x) + 3*b**5*x**5/
(12*a*b**6 + 12*b**7*x), Eq(n, -2)), (-a**5*log(a/b + x)/b**6 + a**4*x/b**5 - a*
*3*x**2/(2*b**4) + a**2*x**3/(3*b**3) - a*x**4/(4*b**2) + x**5/(5*b), Eq(n, -1))
, (-120*a**6*(a + b*x)**n/(b**6*n**6 + 21*b**6*n**5 + 175*b**6*n**4 + 735*b**6*n
**3 + 1624*b**6*n**2 + 1764*b**6*n + 720*b**6) + 120*a**5*b*n*x*(a + b*x)**n/(b*
*6*n**6 + 21*b**6*n**5 + 175*b**6*n**4 + 735*b**6*n**3 + 1624*b**6*n**2 + 1764*b
**6*n + 720*b**6) - 60*a**4*b**2*n**2*x**2*(a + b*x)**n/(b**6*n**6 + 21*b**6*n**
5 + 175*b**6*n**4 + 735*b**6*n**3 + 1624*b**6*n**2 + 1764*b**6*n + 720*b**6) - 6
0*a**4*b**2*n*x**2*(a + b*x)**n/(b**6*n**6 + 21*b**6*n**5 + 175*b**6*n**4 + 735*
b**6*n**3 + 1624*b**6*n**2 + 1764*b**6*n + 720*b**6) + 20*a**3*b**3*n**3*x**3*(a
+ b*x)**n/(b**6*n**6 + 21*b**6*n**5 + 175*b**6*n**4 + 735*b**6*n**3 + 1624*b**6
*n**2 + 1764*b**6*n + 720*b**6) + 60*a**3*b**3*n**2*x**3*(a + b*x)**n/(b**6*n**6
+ 21*b**6*n**5 + 175*b**6*n**4 + 735*b**6*n**3 + 1624*b**6*n**2 + 1764*b**6*n +
720*b**6) + 40*a**3*b**3*n*x**3*(a + b*x)**n/(b**6*n**6 + 21*b**6*n**5 + 175*b*
*6*n**4 + 735*b**6*n**3 + 1624*b**6*n**2 + 1764*b**6*n + 720*b**6) - 5*a**2*b**4
*n**4*x**4*(a + b*x)**n/(b**6*n**6 + 21*b**6*n**5 + 175*b**6*n**4 + 735*b**6*n**
3 + 1624*b**6*n**2 + 1764*b**6*n + 720*b**6) - 30*a**2*b**4*n**3*x**4*(a + b*x)*
*n/(b**6*n**6 + 21*b**6*n**5 + 175*b**6*n**4 + 735*b**6*n**3 + 1624*b**6*n**2 +
1764*b**6*n + 720*b**6) - 55*a**2*b**4*n**2*x**4*(a + b*x)**n/(b**6*n**6 + 21*b*
*6*n**5 + 175*b**6*n**4 + 735*b**6*n**3 + 1624*b**6*n**2 + 1764*b**6*n + 720*b**
6) - 30*a**2*b**4*n*x**4*(a + b*x)**n/(b**6*n**6 + 21*b**6*n**5 + 175*b**6*n**4
+ 735*b**6*n**3 + 1624*b**6*n**2 + 1764*b**6*n + 720*b**6) + a*b**5*n**5*x**5*(a
+ b*x)**n/(b**6*n**6 + 21*b**6*n**5 + 175*b**6*n**4 + 735*b**6*n**3 + 1624*b**6
*n**2 + 1764*b**6*n + 720*b**6) + 10*a*b**5*n**4*x**5*(a + b*x)**n/(b**6*n**6 +
21*b**6*n**5 + 175*b**6*n**4 + 735*b**6*n**3 + 1624*b**6*n**2 + 1764*b**6*n + 72
0*b**6) + 35*a*b**5*n**3*x**5*(a + b*x)**n/(b**6*n**6 + 21*b**6*n**5 + 175*b**6*
n**4 + 735*b**6*n**3 + 1624*b**6*n**2 + 1764*b**6*n + 720*b**6) + 50*a*b**5*n**2
*x**5*(a + b*x)**n/(b**6*n**6 + 21*b**6*n**5 + 175*b**6*n**4 + 735*b**6*n**3 + 1
624*b**6*n**2 + 1764*b**6*n + 720*b**6) + 24*a*b**5*n*x**5*(a + b*x)**n/(b**6*n*
*6 + 21*b**6*n**5 + 175*b**6*n**4 + 735*b**6*n**3 + 1624*b**6*n**2 + 1764*b**6*n
+ 720*b**6) + b**6*n**5*x**6*(a + b*x)**n/(b**6*n**6 + 21*b**6*n**5 + 175*b**6*
n**4 + 735*b**6*n**3 + 1624*b**6*n**2 + 1764*b**6*n + 720*b**6) + 15*b**6*n**4*x
**6*(a + b*x)**n/(b**6*n**6 + 21*b**6*n**5 + 175*b**6*n**4 + 735*b**6*n**3 + 162
4*b**6*n**2 + 1764*b**6*n + 720*b**6) + 85*b**6*n**3*x**6*(a + b*x)**n/(b**6*n**
6 + 21*b**6*n**5 + 175*b**6*n**4 + 735*b**6*n**3 + 1624*b**6*n**2 + 1764*b**6*n
+ 720*b**6) + 225*b**6*n**2*x**6*(a + b*x)**n/(b**6*n**6 + 21*b**6*n**5 + 175*b*
*6*n**4 + 735*b**6*n**3 + 1624*b**6*n**2 + 1764*b**6*n + 720*b**6) + 274*b**6*n*
x**6*(a + b*x)**n/(b**6*n**6 + 21*b**6*n**5 + 175*b**6*n**4 + 735*b**6*n**3 + 16
24*b**6*n**2 + 1764*b**6*n + 720*b**6) + 120*b**6*x**6*(a + b*x)**n/(b**6*n**6 +
21*b**6*n**5 + 175*b**6*n**4 + 735*b**6*n**3 + 1624*b**6*n**2 + 1764*b**6*n + 7
20*b**6), True)) - b*b**n*c**3*n*x*(a/b + x)**n*lerchphi(1 + b*x/a, 1, n + 1)*ga
mma(n + 1)/(a*gamma(n + 2)) - b*b**n*c**3*x*(a/b + x)**n*lerchphi(1 + b*x/a, 1,
n + 1)*gamma(n + 1)/(a*gamma(n + 2))

_______________________________________________________________________________________

GIAC/XCAS [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \[ \int \frac{{\left (d x^{2} + c\right )}^{3}{\left (b x + a\right )}^{n}}{x}\,{d x} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  integrate((d*x^2 + c)^3*(b*x + a)^n/x,x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((d*x^2 + c)^3*(b*x + a)^n/x, x)